Question

如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.

（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，請證明△EGD∽△DCF，并求出k的值.

Answer 1

（1）點F的坐標為（4，1）；（2）證明見解析，k=3．

試題分析：（1）根據點E是AB中點，可求出點E的坐標，將點E的坐標代入反比例函數解析式可求出k的值，再由點F的橫坐標為4，可求出點F的縱坐標，繼而得出答案；
（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設點E坐標為（，2），點F坐標為（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用對應邊成比例可求出k的值．
試題解析：（1）∵點E是AB的中點，OA=2，AB=4，
∴點E的坐標為（2，2），
將點E的坐標代入y=，可得k=4，
即反比例函數解析式為：y=，
∵點F的橫坐標為4，
∴點F的縱坐標==1，
故點F的坐標為（4，1）；
（2）由折疊的性質可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
結合圖形可設點E坐標為（，2），點F坐標為（4，），
則CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，
在Rt△CDF中，CD=，
∵，即，
∴=1，
解得：k=3．