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已知:拋物線y=ax2+bx+c經過點O(0,0),A(7,4),且對稱軸l與x軸交于點B(5,0).
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖,點E、F分別是y軸、對稱軸l上的點,且四邊形EOBF是矩形,點是BF上一點,將△BOC沿著直線OC翻折,B點與線段EF上的D點重合,求D點的坐標;
(3)在(2)的條件下,點G是對稱軸l上的點,直線DG交CO于點H,S△DOH:S△DHC=1:4,求G點坐標.

【答案】分析:(1)利用待定系數法列方程組即可求出二次函數的系數,從而得到其解析式;
(2)根據翻折不變性,得到相等的線段和相等的角:BO=DO=5,CD=BC=,∠OBC=∠ODC=90°,再根據互余關系,得到∠EOD=∠FDC,從而證出△EOD∽△FDC,再根據相似三角形的性質和矩形的性質列方程解答;
(3)過點H作HP⊥OB,根據等高的三角形面積比等于底的比,列出等式,求出OH與OC的比,從而得出D、H坐標,解出直線DG的表達,進而求出G點坐標.
解答:解:(1)由題意得(1分),
解得
.(3分)

(2)∵△BOC與△DOC重合,
,∠OBC=∠ODC=90°,
∴∠EDO+∠FDC=90°,又∠EDO+∠EOD=90°,
∴∠EOD=∠FDC,
∵∠OED=∠DFC=90°,
∴△EOD∽△FDC,(2分)
,(1分)
∵四邊形OEFB是矩形,
∴EF=OB,EO=FB,
設FC=x,則ED=2x,DF=5-2x,
∴EO=10-4x,
,解,得
∴ED=3,EO=4,
∴D(3,4).(1分)

(3)過點H作HP⊥OB,垂足為點P.
∵S△DOH:S△DHC=1:4,
,(1分)
∵HP⊥OB,CB⊥OB,
∴HP∥BC,


,(1分)
∴經過點D(3,4),的直線DG的表達式為,(1分)
.(1分)
點評:本題主要考查了二次函數解析式的確定、翻折變換及三角形的面積等知識.主要考查學生數形結合的數學思想方法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設△ABC的面積為
3
,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否精英家教網存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點(1,0),一條直線y=ax+b,它們的系數之間滿足如下關系:a>b>c.
(1)求證:拋物線與直線一定有兩個不同的交點;
(2)設拋物線與直線的兩個交點為A、B,過A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
c
a
,試問:是否存在實數k,使線段A1B1的長為4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•貴陽)已知:直線y=ax+b過拋物線y=-x2-2x+3的頂點P,如圖所示.
(1)頂點P的坐標是
(-1,4)
(-1,4)

(2)若直線y=ax+b經過另一點A(0,11),求出該直線的表達式;
(3)在(2)的條件下,若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關于x軸成軸對稱,求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點坐標.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

已知:拋物線數學公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設△ABC的面積為數學公式,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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科目:初中數學 來源:2009年四川省綿陽市南山中學自主招生考試數學試卷(解析版) 題型:解答題

已知:拋物線,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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