Question

如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，易證MN=AM+CN
（1）如圖2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數量關系？請寫出猜想，并給予證明．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數量關系？請直接寫出猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根據等腰梯形的性質可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM繞點B順時針旋轉90°，點A與點C重合，點M到達點M′，根據旋轉變換的性質，△ABM和△CBM′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）在∠CBN內部作∠CBM′=∠ABM交CN于點M′，然后證明∠C=∠BAM，再利用“角邊角”證明△ABM和△CBM′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，再證明∠MBN=∠M′BN，利用“邊角邊”證明△MBN和△M′BN全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=M′N，從而得到MN=CN-AM．
解答：解：（1）MN=AM+CN．
理由如下：
如圖，∵BC∥AD，AB=BC=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD=180°，
把△ABM繞點B順時針旋轉90°到△CBM′，則△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴點M′、C、N三點共線，
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN；


（2）MN=CN-AM．
理由如下：如圖，作∠CBM′=∠ABM交CN于點M′，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，
又∵∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠C=∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM=CM′，BM=BM′，
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
∵，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN=M′N，
∵M′N=CN-CM′=CN-AM，
∴MN=CN-AM．
點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰梯形的兩底角互補，利用旋轉變換作輔助線，構造出全等三角形，把MN、AM、CN通過等量轉化到兩個全等三角形的對應邊是解題的關鍵，本題靈活性較強，對同學們的能力要求較高．