Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，
（1）求弦AC、AB的長；
（2）若P為CB的延長線上一點，試確定P點的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）要求AC，可在△AOC中求解，求AB，可在△AOB中求解．?
（2）要確定P的位置，只需求PB，可在△APB中求解，過P作PF⊥AB，則將斜三角形分解為直角三角形

解答：解：（1）過O作OE⊥AC于E，連接OC，?
∵∠ABC=120°，則∠AOC=120°．?
又∵OA=OC，?
∴∠OAD=∠OCD=30°．?
在Rt△AOD中，cos∠OAD=

AD

OA

，
又∵OA=1，?
∴AE=OA•cos30°=

3

2

．∴AC=2AE=

3

．?
在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=2∠ACB=90°，∴AB=

2

．?

（2）過P作PF⊥AB于F，設BF=a，?
∵∠ABP=180°-∠ABC=60°，?
∴∠BPF=30°．∴BP=2BF=2a．?
在Rt△BPF中，PF=

BP2-BE2

=

3

a．?
∵PA切⊙O于A，∴∠OAP=90°．?
∵∠OAB=45°，∴∠PAF=45°．?
在Rt△PAF中，AE=PF=

3

a，?
又∵AF+FB=AB=

2

，?
∴a+

3

a=

2

，
解a=

6 - 2

2

．?
∴PB=2a=

6

-

2

．

點評：本題考查了切線的判定和性質，從三角形中著手而解得，第二步可以可在△APB中求解，過P作PE⊥AB，則將斜三角形分解為直角三角形從而證得．