Question

我市部分地區近年出現持續干旱現象，為確保生產生活用水，某村決定由村里提供一點，村民捐一點的辦法籌集資金維護和新建一批儲水池．該村共有243戶村民，準備維護和新建的儲水池共有20個，費用和可供使用的戶數及用地情況如下表：

蓄水池	費用（萬元/個）	可供使用的戶數（戶/個）	占地面積（m2/個）
新建	4	5	4
維護	3	18	6

已知可支配使用土地面積為106m²，若新建儲水池x個，新建和維護的總費用為y萬元．
（1）求y與x之間的函數關系；
（2）滿足要求的方案各有幾種；
（3）若平均每戶捐2000元時，村里出資最多和最少分別是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）新建費用4x萬元，維護費用3（20-x）萬元，故總費用為[4x+3（20-x）]萬元．由于儲水池至少要滿足該村243戶村民，列出函數關系式；
（2）可根據新建的水池可供使用的戶數+維護的水池可供使用的戶數≥243戶，新建的水池的占地面積+維護的水池的占地面積≤106平方米；由此可得出自變量的取值范圍，找出符合條件的方案；
（3）由（1）得出的函數，和（2）中x的取值范圍，判定出符合條件的值．
解答：解：（1）由題意得y=4x+3（20-x），即y=x+60；

（2）由題意得
5x+18（20-x）≥243，化簡得13x≤117，即x≤9．
又∵4x+6（20-x）≤106，解得x≥7，
∴7≤x≤9
又∵x為整數．
故滿足要求的方案有三種：
新建7個，維修13個；
新建8個，維修12個；
新建9個，維護11個；

（3）由y=x+60知y隨x的增大而增大．
∴當x=7時，y最小=67（萬），當x=9時，y最大=69（萬）．
而居民捐款共243×0.2=48.6（萬）．
∴村里出資最多為20.4萬，最少為18.4萬．
點評：（1）根據總費用=新建費用+維護費用，可列出y與x之間的函數關系式；
（2）根據新建的水池與維護的水池可供使用的戶數及新建的水池與維護水池的占地面面積，列出不等式組，求出自變量的取值范圍，即可找出符合條件的方案；
（3）由（1）（2）聯立即可求出x的取值范圍，判定出符合條件的值．
解決這類問題的關鍵是認真讀懂題意，找出其中變量之間的關系．