Question

如圖，已知正方形ABCD，點P為射線BA上的一點（不和點A，B重合），過P作PE⊥CP，且CP=PE．過E作EF∥CD交射線BD于F．

（1）若CB=6，PB=2，則EF=______；DF=______

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC、AE、PF，先由等腰直角三角形和正方形的性質得出∠CEP=∠CAP=45°，則A、E、C、P四點共圓，根據同弧所對的圓周角相等得到∠EAC=∠EPC=90°，所以∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD，由平行線的判定得出AE∥BF，又AB∥EF，得出四邊形AEFB是平行四邊形，則EF=AB=CB=6，再利用SAS證明△PEF≌△PCB，得出PF=PB=2，然后由勾股定理求出BF=2，BD=6，則DF=6-2=4；
（2）連接AE，AC．根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CDEF是平行四邊形，由平行四邊形的對角線互相平分得到DG=GF，即DG+GF=2DG，進而得出BF+2DG=BD=CD；
（3）作EM⊥BA的延長線于點M，延長EF交BC的延長線于點G，易證△PEM≌△PBC，四邊形CDEF為平行四邊形，則ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．設AB=BC=1，AP=CG=x，用含x的代數式分別表示S_{四邊形PEFC}，S_{四邊形CDEF}，根據四邊形EFCD與四邊形PEFC的面積之比為，列出關于x的方程，解方程求出x的值，然后根據正切函數的定義即可求出tan∠BPC的值．
解答：解：（1）如圖1，連接AC、AE、PF，
∵PE⊥PC，PE=CP，
∴∠CEP=∠CAP=45°
∴A、E、C、P四點共圓，
∴∠EAC=∠EPC=90°，
∴∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD，
∴AE∥BF，而EF∥CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴四邊形AEFB是平行四邊形，
∴EF=AB=CB=6，
∴∠APE=∠PEF，
∵∠EPC=∠PBC=90°，
∴∠APE=∠PCB，
∴∠PEF=∠PCB，
又PE=PC，
∴△PEF≌△PCB（SAS），
∴PF=PB=2，
∴BF=2．
∵BD=AB=6，
∴DF=6-2=4；

（2）BF+2DG=CD．理由如下：
如圖1，連接AE，AC．
由（1）可知，AB∥EF，AB=EF，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴DG=GF，
∴DG+GF=2DG，
∴BF+2DG=BD=CD；

（3）作EM⊥BA的延長線于點M，延長EF交BC的延長線于點G，
易證：△PEM≌△PBC，四邊形CDEF為平行四邊形，ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．
設AB=BC=1，AP=CG=x，則
S_{四邊形PEFC}=S_矩形BMEG-2S_三角形BPC-S_三角形FCG=（2+x）（1+x）-（1+x）-（1+x）x=x²+x+1，
S四邊形CDEF=x；
∵四邊形EFCD與四邊形PEFC的面積之比為，
∴x：（x²+x+1）=12：35，
x=或，
∵tan∠BPC==，
∴當x=時，tan∠BPC==；
當x=時，tan∠BPC==．
tan∠BPC=或．
故答案為：6，4；或．
點評：本題考查了等腰直角三角形、正方形的性質，四點共圓的條件，圓周角定理，平行四邊形、全等三角形的判定與性質，四邊形的面積，銳角三角函數的定義，綜合性較強，難度較大．運用數形結合思想及正確地作出輔助線是解題的關鍵．