Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F．
（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交于點G，H，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行線的性質可證△FOE≌△DOC；
（2）由平行線的性質可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC與BC的關系，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．
解答：（1）證明：∵EF是△OAB的中位線，
∴EF∥AB，EF=AB，
而CD∥AB，CD=AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；

（2）解：∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC===BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB===；

（3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴==，即EG=CD，
同理FH=CD，
∴==．
點評：本題綜合考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，勾股定理，中位線定理，銳角三角函數定義的運用．關鍵是由全等、相似得出相關線段之間的位置關系，數量關系．