Question

拋物線y=ax²+bx+3經過A（﹣3，0），B（﹣1，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，設拋物線y=ax²+bx+3的頂點為M，直線y=﹣2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D．現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移后拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的取值范圍；
（3）如圖2，將拋物線y=ax²+bx+3平移，平移后拋物線與x軸交于點E、F，與y軸交于點N，當E（﹣1，0）、F（5，0）時，在拋物線上是否存在點G，使△GFN中FN邊上的高為？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線解析式y=ax²+bx+3經過A（﹣3，0），B（﹣1，0）兩點，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3．
（2）由（1）配方得y=（x+2）²﹣1，
∴拋物線的頂點坐標為M（﹣2，﹣1），
∴直線OD的解析式為y=x，
于是可設平移后的拋物線的頂點坐標為（h，h），
∴平移后的拋物線的解析式為y=（x﹣h）²+h，
當拋物線經過點C時，
∴C（0，9），
∴h²+h=9．
解得h=，
∴當≤h≤時，
平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點；
當拋物線與直線CD只有一個公共點時，
由方程組，得x²+（﹣2h+2）x+h²+h﹣9=0，
∴△=（﹣2h+2）²﹣4（h²+h﹣9）=0，解得h=4，
此時拋物線y=（x﹣4）²+2與直線CD唯一的公共點為（3，3），點（3，3）在射線CD上，符合題意．
∴平移后拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的取值范圍是或h=4．
（3）平移后，當E（﹣1，0）、F（5，0）時，
拋物線的解析式為：y=（x+1）（x﹣5），
即y=x²﹣4x﹣5．
當x=0時，y=﹣5．
∴N（0，﹣5）．
∴OF=ON=5，假設存在點G，使△GFN中FN邊上的高為7，
∴G點應在與直線FN平行，且相距7的兩條平行線l₁（如圖所示）和l₂（在直線FN下方且平行于直線FN）上．由平行的性質可以知道l₁和l₂與y軸的交點到直線FN的距離也為7，如圖，設l₁與y軸交于點P，過點P作PQ⊥FN，垂足為Q，
∵OF=ON，
∴∠ONF=OFN=45°．
在Rt△PQN中，PQ=7，∠PNQ=∠ONF=45°，
由勾股定理，得PN=PQ=14．
∴直線l₁與y軸的交點坐標為P（0，9）．
同理可得：直線l₂與y軸的交點坐標為R（0，﹣19）．
∵OF=ON=5，
∴F（5，0），N（0，﹣5），
∴容易求得直線FN的解析式為：y=x﹣5．
∴直線l₁、l₂的解析式分別為l₁：y=x+9；l₂：y=x﹣19．
根據題意，列方程組：①，，
由①，得x²﹣5x﹣14=0，
解得x₁=7，x₂=﹣2
∴，．
∴G₁（7，16），G₂（﹣2，7）．
由②，得x²﹣5x+14=0．
∵△=（﹣5）²﹣4×1×14＜0，此方程無實數根．
∴在拋物線上存在點G，使△GFN中FN邊上的高為7．
點G的坐標為：G₁（7，16），G₂（﹣2，7）．