Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C點A的右側），點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）若點P在第二象限內，過點P作PD⊥x軸于D，交AB于點E．當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此時PE等于多少？
（3）如果平行于x軸的動直線l與拋物線交于點Q，與直線AB交于點N，點M為OA的中點，那么是否存在這樣的直線l，使得△MON是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式，并求出拋物線與x軸另一交點C的坐標；
（2）關鍵是求出線段PE長度的表達式，設D點橫坐標為t，則可以將PE表示為關于t的二次函數，利用二次函數求極值的方法求出PE長度的最大值；
（3）根據等腰三角形的性質和勾股定理，將直線l的存在性問題轉化為一元二次方程問題，通過一元二次方程的判別式可知直線l是否存在，并求出相應Q點的坐標．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三種情況，需要逐一討論，不能漏解．
解答：解：（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴A（-4，0），B（0，4）
拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點，可得
，解得，
∴拋物線解析式為y=-x²-3x+4．
令y=0，得-x²-3x+4=0，
解得x₁=-4，x₂=1，∴C（1，0）．

（2）如答圖1所示，設D（t，0）．
∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴E（t，t+4），P（t，-t²-3t+4）．
PE=y_P-y_E=-t²-3t+4-t-4=-t²-4t=-（t+2）²+4，
∴當t=-2時，線段PE的長度有最大值4，此時P（-2，6）．

（3）存在．
如答圖2所示，過N點作NH⊥x軸于點H．
設OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4-m，∴y_Q=4-m．
又M為OA中點，∴MH=2-m．
△MON為等腰三角形：
①若MN=ON，則H為底邊OM的中點，
∴m=1，∴y_Q=4-m=3．
由-x_Q²-3x_Q+4=3，解得x_Q=，
∴點Q坐標為（，3）或（，3）；
②若MN=OM=2，則在Rt△MNH中，
根據勾股定理得：MN²=NH²+MH²，即2²=（4-m）²+（2-m）²，
化簡得m²-6m+8=0，解得：m₁=2，m₂=4（不合題意，舍去）
∴y_Q=2，由-x_Q²-3x_Q+4=2，解得x_Q=，
∴點Q坐標為（，2）或（，2）；
③若ON=OM=2，則在Rt△NOH中，
根據勾股定理得：ON²=NH²+OH²，即2²=（4-m）²+m²，
化簡得m²-4m+6=0，∵△=-8＜0，
∴此時不存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．
所求Q點的坐標為（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．
點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一次函數、一元二次方程的解法及判別式、等腰三角形以及勾股定理等方面知識，涉及考點較多，難度較大．第（3）問中，注意等腰三角形有三種情形，需要分類討論，避免因漏解而導致失分．