Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上一點，連接BO交AD于F，OE⊥OB交BC邊于點E．
（1）求證：△ABF∽△COE；
（2）當O為AC的中點，時，如圖2，求的值；
（3）當O為AC邊中點，時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證：△ABF∽△COE，只要證明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．
（2）作OH⊥AC，交AD的延長線于H，易證△ABF≌△COE，進而證明△ABF∽△HOF，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可得出所求的值．同理可得（3）=n．
解答：（1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．

（2）解：過O作AC垂線交BC于H，則OH∥AB，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O為AC的中點，OH∥AB．
∴OH為△ABC的中位線，
∴OH=AB，OA=OC=AC，
而，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2：1，即=2；

（3）解：=n．
點評：本題難度中等，主要考查相似三角形的判定和性質．