Question

如圖，△ABC是圓內接正三角形，P為劣弧BC上一點，已知AB=，PA=6．
（1）求證：PB+PC=PA；
（2）求PB、PC的長（PB＜PC）．

Answer 1

（1）證明：連接PB，在PA上截取PE=PB，連接BE；
∵△ABC是等邊三角形，∠ACB=∠APB，
∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；
∴△BEP是等邊三角形，BE=PE=PB；
∴∠ACB-∠EBC=∠APB-∠EBC=60°-∠EBC；
∴∠ABE=∠CBP；
∵在△ABE與CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP；
∴AE=CP；
∴AP=AE+PE=PB+PC．

（2）解：由余弦定理知，PB²+AP²-AB²=2PA•PB•cos∠APB；
PB²+36-28=6AB，PB²-6PB+8=0；
解得PB=4或PB=2；
∵PB＜PC，
∴PB取2，
∴PC=4，PB=2．
分析：（1）連接PB，在PA上截取PE=PB，連接BE，則有△BEP是等邊三角形，由SAS證得△ABE≌△CBP，則AE=CP，得到AP=AE+PE=PB+PC；
（2）由于∠APB=∠ACB=60°，因此可用余弦定理求解．
點評：本題通過構造等邊三角形，利用等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、余弦定理等知識求解．