Question

【題目】已知，在平面直角坐標系內一直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經過A、B兩點，y軸右側部分拋物線上有一動點C，過點C作y軸的平行線交直線l1于點D.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖1，C在第一象限，求以CD為直徑的⊙E的最大面積，并判斷此時⊙E與拋物線的對稱軸是否相切？若不相切，求出使得⊙E與該拋物線對稱軸相切時點C的橫坐標；

（3）坐標平面內是否存在點M，使B、C、D、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；（2）不相切， C的橫坐標分別為2和；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.

【解析】

（1）直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點，可求得A、B兩點坐標代入

y=-x2+bx+c，可求得拋物線的函數表達式;

（2）①設直線CD的橫坐標為t，0＜t＜3,可求得CD的長度表達式，可求得CD的最大值及與圓不相切；②分當CD在對稱軸右邊時與左邊討論，可得C的橫坐標；

(3)根據菱形的性質直接寫出點M的坐標即可.

解：（1）直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點，可得A點（3，0），B點（0，3），將A、B兩點坐標代入y=-x2+bx+c，可得

，可得b=2，c=3

拋物線的函數表達式；

（2）①可得拋物線對稱軸為：1，

C在第一象限,以CD為直徑的⊙E的最大面積，即CD最長時，圓的面積最大，

設直線CD的橫坐標為t，0＜t＜3，

D點坐標（t，-t+3），C點坐標（t，-t+2t+3），

=-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0＜t＜3），

當t==時，CD最長，此時CD最長為，

此時圓E的半徑為，此時CD與對稱軸的距離為-1=≠，

故不相切.

②當CD在對稱軸右邊時，即1＜t＜3時

= -t+3t（1＜t＜3）；圓E的半徑為t-1，

可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：=-1（舍去）；

=2；

當CD在對稱軸左邊時，即即0＜t＜1時，

有-t+3t=2（1-t），解得：（舍去），

；

綜上所述：t=2或t=，⊙E與該拋物線對稱軸相切.

(3)存在，由菱形性質可得M點坐標（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.