Question

24、在△ABC中，AB=BC，將△ABC繞點A沿順時針方向旋轉得△A₁B₁C₁，使點C_l落在直線BC上（點C_l與點C不重合），
（1）如圖，當∠C＞60°時，寫出邊AB_l與邊CB的位置關系，并加以證明；
（2）當∠C=60°時，寫出邊AB_l與邊CB的位置關系（不要求證明）；
（3）當∠C＜60°時，請你在如圖中用尺規作圖法作出△AB₁C₁（保留作圖痕跡，不寫作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的結論是否還成立并說明理由．

Answer 1

分析：（1）AB₁∥BC．因為等腰三角形，兩底角相等，再根據平行線的判定，內錯角相等兩直線平行，可證明兩直線平行．
（2）當∠C=60°時，寫出邊AB_l與邊CB的位置關系也是平行，證明方法同（1）題．
（3）成立，根據旋轉變換的性質畫出圖形．利用三角形全等即可證明．

解答：證明：（1）AB₁∥BC．
如圖1，由已知得△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，∠B₁AB=∠C₁AC，
∵AC₁=AC，
∴∠AC₁C=∠ACC₁，
∵∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁=180°，
∴∠C₁AC=180°-2∠ACC₁，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°-2∠ACC₁，
∴∠ABC=∠C₁AC=∠B₁AB，
∴AB₁∥BC．（5分）

解：（2）∠C=60°時，AB₁∥BC．（7分）
（3）如圖，當∠C＜60°時，（1）、（2）中的結論還成立．
證明：顯然△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，
∴∠B₁AB=∠C₁AC，
∵AC₁=AC，
∴∠AC₁C=∠ACC₁，
∵∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁=180°，
∴∠C₁AC=180°-2∠ACC₁，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°-2∠ACC₁，
∴∠ABC=∠C₁AC=∠B₁AB，
∴AB₁∥BC．（13分）

點評：考查圖形的旋轉，等腰三角形的性質，平行線的判定．本題實質是考查對圖形旋轉特征的理解，旋轉前后的圖形是全等的．