Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx和雙曲線在第一象限相交于點A（1，2），點B在y軸上，且AB⊥y軸．有一動點P從原點出發沿y軸以每秒1個單位的速度向y軸的正方向運動，運動時間為t秒（t＞0），過點P作PD⊥y軸，交直線OA于點C，交雙曲線于點D．

（1）求直線y=kx和雙曲線的函數關系式；

（2）設四邊形CDAB的面積為S，當P在線段OB上運動時（P不與B點重合），求S與t之間的函數關系式；

（3）在圖中第一象限的雙曲線上是否存在點Q，使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時t的值和Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）時，Q；時，Q；時，；

【解析】

（1）把點A的坐標代入兩個函數的解析式求出k和k′的值即可得到兩個函數的解析式；

（2）由題意易得AB=1，OB=2，OP=t，結合（1）中所得兩個函數的解析式可得：PC=，PD=，BP=，由此可得當點P在線段AB上（不與點B重合）時，CD=PD-PC=，這樣S=S梯形ABCD=（AB+CD）·BP即可求得S與t間的函數關系式了；

（3）根據題意，分①CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，點Q與點D重合；②CD在AB上方，AB∥CD，且AB=CD，點Q與點D重合；③CD在AB下方，BQ∥AC，BQ=AC；根據這三種情況畫出對應的圖形（圖2和圖3）結合已知條件進行分析解答即可.

（1）把A（1，2）代入y=kx和y=，

k=2，k′=2

∴直線y=kx的函數關系式是y=2x，雙曲線y=的函數關系式是y=；

（2）由題意可得：AB=1，OB=2，OP=t，

∴PC=，PD=，BP=2-t，

∴當CD在AB下方時，CD=PD-PC=-．

∴S= (1+-)(2-t)= （0＜t＜2）；

（3）存在以下3種情形，具體如下：

①當CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，點Q與點D重合（如圖2）時，四邊形ABCQ是平行四邊形，

∵CD=PD-PC=-=1，

∴，解得（舍去），

∴此時PD==，OP=t=-1，

∴當t=-1時，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形；

②當CD在AB的上方，AB∥CD，且AB=CD，點Q與點D重合（如圖2）時，四邊形ACBQ是平行四邊形，

∵CD=PC-PD，

∴，解得：（舍去），

∴此時PD==，OP=t=+1，

∴當t=+1時，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形；

③當BQ∥AC，BQ=AC，且CD在AB下方時（如圖3），此時四邊形ACBQ是平行四邊形，

此時Q點的坐標仍為（，+1），

過C作CG⊥AB交AB于G，過Q作QH⊥y軸交y軸于H，

易證：△ACG≌△QBH，

∴CG=BH=BP，，

∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-，

∴當t=3-時，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形．