Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，已知B(－1，0)，一次函數y＝－x＋5的圖象與x軸，y軸分別交于點A，C兩點，二次函數y＝－x2＋bx＋c的圖象經過點A，點B.

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)點P是該二次函數圖象的頂點，求△APC的面積；

(3)如果點Q在線段AC上，且△ABC與△AOQ相似，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋4x＋5；(2) 15；(3) Q點坐標為或(2，3)

【解析】(1)、根據一次函數得出點A和點C的坐標，然后利用待定系數法求出二次函數的解析式；(2)、首先根據二次函數得出點P的坐標，過點P作PD∥y軸交AC于點D，將三角形分成兩個三角形來進行計算；(3)、根據三角形相似，分兩種情況來進行計算，分別得出點Q的坐標．

(1)∵一次函數y＝－x＋5的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，

∴A(5，0)，C(0，5)．∵二次函數y＝－x2＋bx＋c的圖象經過點A，點B，

∴b＝4，c＝5，∴二次函數的解析式為y＝－x2＋4x＋5；

(2)∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴P(2，9)．

過點P作PD∥y軸交AC于點D，如答圖①，則D(2，3)．

∴S△APC＝ (xA－xC)(yP－yD)＝15；

(3)①若△ABC∽△AOQ，如答圖②，此時，OQ∥BC.

由B，C兩點坐標可求得BC的解析式為y＝5x＋5. ∴OQ的解析式為y＝5x.

由解得∴Q；

②若△ABC∽△AQO，如答圖③，此時，＝.

∵AB＝6，AO＝5，AC＝5，∴AQ＝3，∴Q(2，3)．

綜上所述，滿足要求的Q點坐標為或(2，3)．