Question

已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點B，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，AD的延長線交BC于點C．
（1）求∠BAC的度數；
（2）求證：AD=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是⊙O的直徑，易證得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，易證得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度數；
（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三線合一的知識，即可證得AD=CD．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=CB，
∵直線BC與⊙O相切于點B，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°；

（2）證明：∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AD=CD．
點評：此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．