Question

如圖已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D的坐標為（-2，0）．問：直線AC上是否存在點F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A及點B的坐標代入可得出a、b的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）先確定直線AC的解析式，若△ODF是等腰三角形，在本題中只有兩種情況，①PD=PO，②OD=OP，分別確定點P的坐標即可．

解答：解：（1）將點A（1，0）和點B（-3，0）代入拋物線解析式可得：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

，
故所求拋物線解析式為：y=-x²-2x+3．

（2）存在符合條件的點P，

設直線AC的解析式為y=kx+m，
將點A及點C的坐標代入可得：

k+m=0 m=3

，
解得：

k=-3 m=3

，
故直線AC的解析式為y=-3x+3，
①當PD=PO時，此時點P位于P₁的位置，很明顯P₁的坐標為（-1，6）；
②當OD=OP時，此時點P的一個位置為P₂，
設P₂的坐標為（x，-3x+3），
∵OD=OP=2，
∴

x2+(-3x+3)2

=2，
解得：x₁=

18+ 31

10

，x₂=

18- 31

10

，
很明顯此時P的坐標為（

18+ 31

10

，

-54- 31

10

）或（

18- 31

10

，

-54+3 31

10

）．
綜上可得點P的坐標為（-1，6）或（

18+ 31

10

，

-54- 31

10

）或（

18- 31

10

，

-54+3 31

10

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合應用，第一問比較簡單，利用待定系數法求解即可，難點在第二問，第二問關鍵是分類討論，在求解點P的坐標的時候要求我們結合圖形進行解答．