Question

（2012•龍灣區二模）如圖，已知O是射線AX上的一點，以點O為圓心、r為半徑的圓與射線AY切于點B，交射線OX于點C．連接BC，作CD⊥BC，交射線AY于點D．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若r=6，sinA=

3

5

，求AD的值．

Answer 1

分析：（1）根據切線的定義可得BO⊥AD，然后求出∠ABO=∠BCD，再根據等邊對等角的性質可得∠OBC=∠OCB，然后求出∠ABC=∠ACD，再利用兩角對應相等，兩三角形相似證明即可；
（2）根據∠A的正弦值先求出OA，然后求出AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵⊙O與射線AY切于點B，
∴BO⊥AD，
∵CD⊥BC，
∴∠ABO=∠BCD=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACD，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；

（2）∵BO⊥AD，r=6，sinA=

3

5

，
∴AO=10，
∴AC=AO+OC=10+6=16，
AB=

AO2-BO2

=

102-62

=8，
∵△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
∴

16

AD

=

8

16

，
解得AD=32．

點評：本題是圓的綜合題，主要利用了相似三角形的判定與性質，圓的切線的定義，勾股定理的應用，根據圓的半徑相等、利用等邊對等角找出三角形相似的條件是解題的關鍵，也是本題的突破口．