Question

某電影院共有1000個座位，票價不分等次，該影院的經營經念是：當票價不超過10元時，票可以全部售出；當票價高于10元時，每提高1元，將有30張票不能售出．為了獲得更好的收益，影院準備制定一個合適的票價，票價需滿足以下幾個條件：①票價為1元的整數倍；②放映一場電影的成本費用為5750元，票房收入必須高于成本費用．
求：（1）一張電影票的最低價格為多少元？
（2）當票價高于10元時，若票價為每張x（元），放映一場利潤為y（元），求y與x的函數關系式；
（3）當每張票多少元時，放映一場電影的利潤最高？最高為多少元？

Answer 1

解：（1）∵影院放映一場電影的成本費用為5750元，票房收入必須高于成本費用，
∴票房收入＞5750元，
∵該影院共有l000個座位，
∴一張電影票的價格＞5.75元，
又∵票價為l元的整數倍，
∴該院一張電影票的最低價格為6元；

（2）當票價高于10元時：y=x[1000-30（x-10）]-5750=-30x²+1300x-5750，
∵，
∴5＜x＜38，
又∵x為大于10的整數，
∴10＜x≤38．
∴y=-30x²+1300x-5750（10＜x≤38的整數）；

（3）當票價不超過l0元時：y=1000x-5750，
∵1000＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴當x=10時，y的值最大，此時y=1000×10-5750=4250（元）；
當票價高于10元時，y=-30x²+1300x-5750，
∵-30＜0，
∴當x=-=21≈22時，y的值最大，此時y=-30×22²+1300×22-5750=8330（元）．
綜上可知，當每張票定為22元時，放映一場電影的利潤最高，最高為8330元．
分析：（1）利用影院放映一場的成本費用支出為5750元，票房收入必須高于成本費用，該影院共有l000個座位，即可求出x的最小值；
（2）根據利潤=票房收入-成本費用，即可求出當票價高于10元時y與x的函數關系式；
（3）當票價不超過l0元時，利用一次函數的增減性求出最值，當票價高于10元時，利用二次函數的性質求出最值，再比較即可．
點評：此題主要考查了二次函數的應用以及一次函數的增減性和二次函數的最值求法，利用已知條件根據自變量的取值范圍得出函數的解析式是解題的關鍵．