Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當BC=4時，求劣弧AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠ABC的度數；
（2）由AB是⊙O的直徑，根據半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，則可得AE是⊙O的切線；
（3）首先連接OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得∠AOC=120°，由弧長公式，即可求得劣弧AC的長．
解答：解：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，
∴∠ABC=∠D=60°； 

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；

（3）如圖，連接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長為．
點評：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長公式等知識．此題難度適中，注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．