Question

如圖，MN=8，點P、Q在線段MN上，且PM=1，NQ=2．C是線段MN上的動點，分別以CM、CN為斜邊在線段MN的同側作直角△ACM和直角△BCN，使∠AMC=∠BCN=30°，連接AB，設AB的中點為D，當點C從點P運動到點Q時，點D移動路徑的長是________．

Answer 1

2.5
分析：易知四邊形ACNB是梯形，取CN的中點E，連接DE，設MC=x，1≤x≤6，在點C沿MN從P運動到Q的過程中，DE從左向右平移，根據含30°角的直角三角形的邊角關系，可求出ME的表達式，求出當x=1和x=6時，ME₁和ME₂的長，即可得出．
解答：解：取CN的中點E，連接DE，設MC=x，1≤x≤6，
∵∠AMC=∠BCN=30°，
∴∠ACM=∠BNC=60°，則AC∥BN，
∴四邊形ACNB是梯形（當C為MN中點時，為平行四邊形），
∴AC=，CE=BN=4-，DE==2，且DE∥AC，
這就是說，在點C沿MN從P運動到Q的過程中，DE從左向右平移，
所以，點D運動路徑的長就是點E運動路徑的長，
∴ME=CM+CE=x+4-=4+，
當x=1時，ME₁=4.5，
當x=6時，ME₂=7，
∴E₁E₂=2.5，
∴點D運動路徑長是2.5．
點評：本題主要考查了梯形的中位線定理和含30°角的直角三角形的邊角關系，知道把點D的移動路徑，轉化為點E的移動路徑，是解答本題的關鍵．