Question

（2013•泰安）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．
（1）證明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；
（3）在（2）的條件下，試確定E點的位置，∠EFD=∠BCD，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再證明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，進而得到∠AFD=∠CFE；
（2）首先證明∠CAD=∠ACD，再根據等角對等邊可得AD=CD，再有條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是菱形；
（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD．

解答：（1）證明：∵在△ABC和△ADC中

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵在△ABF和△ADF中

AB=AD ∠BAF=∠DAF AF=AF

，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFE，
∴∠AFD=∠CFE；

（2）證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；

（3）當EB⊥CD時，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中

BC=CD ∠BCF=∠DCF CF=CF

，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．