Question

如圖（1），AB是⊙O的直徑，直線l切⊙O于B，C、D是l上兩點，AC，AD交⊙O于E、F．試問：AE•AC與AF•AD有怎樣的關系？請證明你的結論．
如圖（2），若將直線l向下平移，使AB⊥l，交l于G，C、D仍是l上兩點，圖（1）中你探索的結論是否仍然成立？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）可通過構建相似三角形來求證．連接BE、BF，通過證Rt△AEB∽Rt△ABC與Rt△AFB∽Rt△ABD，得出AE、AC以及AF、AD和AB之間的關系，通過AB這個中間值來得出所求的比例關系．
（2）依然成立，因為這要能證得（1）中的兩個三角形相似，就能得出（1）中的結論，直線l向下平移的過程中，兩個三角形相似的條件（一個公共角，一組直角）沒有改變，因此仍相似，所以（1）中的結論仍成立．

解答：（1）證明：如圖（1），連接BE、BF．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
又∵CD切⊙O于點B，
∴AB⊥BC，∠ABC=90°．
在Rt△AEB和Rt△ABC中，∠EAB=∠CAB，
∴Rt△AEB∽Rt△ABC．
∴AE：AB=AB：AC，
即AE•AC=AB²，
同理：Rt△AFB∽Rt△ABD，
∴AF：AB=AB：AD，
∴AF•AD=AB²，
∴AE•AC=AF•AD．

（2）解：AE•AC=AF•AD仍然成立．
證明：如圖（2），連接BE，BF，
∵直線l在向下平移時始終與AB垂直，垂足為G，則∠AGC=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠AGC=∠AEB，
又∵∠GAC=∠EAB，
∴Rt△AGC∽Rt△AEB，
∴AG：AE=AC：AB，
∴AE•AC=AG•AB，
同理：AF•AD=AG•AB，
∴AE•AC=AF•AD．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及切線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．