Question

（本題12分）如圖1，在等邊△ABC中，點E從頂點A出發，沿AB的方向運動，同時，點D從頂點B出發，沿BC的方向運動，它們的速度相同，當點E到達點B時， D、E兩點同時停止運動.

（1）求證：CE＝AD；

（2）連接AD、CE交于點M，則在D、E運動的過程中，∠CMD變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數；

（3）如圖2，若點D從頂點B出發后，沿BC相反的方向運動，其它條件不變. 求證：CE＝DE.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）∠CMD的大小不變；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質得△CAE≌△ABD，從而的證；

（2）由（1）中全等的到結果

（3）作出平行線可以得到△AEF為等邊三角形，由此得到△CFE≌△EBD，從而的證.

試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴∠CAE＝∠ABD＝60°，

又∵AC＝AB，AE＝BD，

∴△CAE≌△ABD，

∴CE＝AD；

（2）∠CMD的大小不變

. ∵△CAE≌△ABD，

∴∠ACE＝∠BAD，

∵∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，

∴∠CMD＝∠CAD+∠ACE＝∠CAD+∠BAD＝60°；

（3）過點E作EF平行于BC交AC于點F，易證△AEF為等邊三角形，

∴EF＝AE＝BD，∠EFC＝∠DBE＝120°，CF＝EB，

∴△CFE≌△EBD，

∴CE＝DE.

考點：等邊三角形的性質，全等三角形