Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1經過點A(﹣4，0)、B(﹣1，0)，其頂點為．

（1）求拋物線C1的表達式；

（2）將拋物線C1繞點B旋轉180°，得到拋物線C2，求拋物線C2的表達式；

（3）再將拋物線C2沿x軸向右平移得到拋物線C3，設拋物線C3與x軸分別交于點E、F(E在F左側)，頂點為G，連接AG、DF、AD、GF，若四邊形ADFG為矩形，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y；（2）；（3）E(，0)．

【解析】

（1）根據拋物線C1的頂點坐標可設頂點式將點B坐標代入求解即可；

（2）由拋物線C1繞點B旋轉180°得到拋物線C2知拋物線C2的頂點坐標，可設拋物線C2的頂點式，根據旋轉后拋物線C2開口朝下，且形狀不變即可確定其表達式；

（3）作GK⊥x軸于G，DH⊥AB于H，由題意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF，結合矩形的性質利用兩組對應角分別相等的兩個三角形相似可證△AGK∽△GFK，由其對應線段成比例的性質可知AK長，結合A、B點坐標可知BK、BE、OE長，可得點E坐標.

解：（1）∵拋物線C1的頂點為，

∴可設拋物線C1的表達式為y，

將B(﹣1，0)代入拋物線解析式得：，

∴，

解得：a，

∴拋物線C1的表達式為y，即y．

（2）設拋物線C2的頂點坐標為

∵拋物線C1繞點B旋轉180°，得到拋物線C2，即點與點關于點B(﹣1，0)對稱

∴拋物線C2的頂點坐標為()

可設拋物線C2的表達式為y

∵拋物線C2開口朝下，且形狀不變

∴拋物線C2的表達式為y，即．

（3）如圖，作GK⊥x軸于G，DH⊥AB于H．

由題意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF，

∵四邊形AGFD是矩形，

∴∠AGF=∠GKF=90°，

∴∠AGK+∠KGF=90°，∠KGF+∠GFK=90°，

∴∠AGK=∠GFK．

∵∠AKG=∠FKG=90°，

∴△AGK∽△GFK，

∴，

∴，

∴AK=6，

，

∴BE=BK﹣EK=3，

∴OE，

∴E(，0)．