Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．將一塊足夠大的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)．如圖①②③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況．
（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PD⊥AC時(shí)，如圖①，四邊形PDCE是正方形，則PD=PE．當(dāng)PD與AC不垂直時(shí)，如圖②、③，PD=PE還成立嗎？并選擇其中的一個(gè)圖形證明你的結(jié)論．
（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PEB是否成為等腰三角形？若能，求出此時(shí)CE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM：MB=1：3，和前面一樣操作，如圖④，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖形加以證明．

Answer 1

解：（1）PD=PE依然成立．
證明：連接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點(diǎn)，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，
∴PD=PE．

（2）分三種情況討論如下：
①當(dāng)PE=PB，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，即CE=0．
②當(dāng)PE=BE時(shí)，CE=1．
③當(dāng)BE=PB時(shí)
若點(diǎn)E在線段CB上時(shí)，CE=，
若點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上時(shí)．

（3）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC，MH⊥BC．
∵∠C=90°，
∴四邊形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．
∵而HB=MH，
∴
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，
即．
分析：（1）因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以連接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．連接CP，就可以證明△CDP≌△BEP，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，就可以證明DP=PE；
（2）△PBE能成為等腰三角形，位置有四種；
（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，構(gòu)造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例，就可以求出MD和ME之間的數(shù)量關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圖形的變換．綜合性很強(qiáng)，勾股定理的計(jì)算要求也比較高．