Question

【題目】如圖，拋物線經過點和點，與軸交于點.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點是直線上方拋物線上一動點，過點作于點，平行于軸，交于點，設點的橫坐標為，試求出線段的最大值，并寫出此時點的坐標；

（3）拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）點的坐標為或.

【解析】

（1）利用待定系數法求解即可；

（2）如圖1，延長交軸于點，先利用銳角三角函數的知識得到MD與ME的關系式，把求MD的最大值轉化為求ME的最大值，再利用ME=MF－EN得出ME關于m的函數關系式，然后利用二次函數的性質即可求出ME的最大值，問題即得解決；

（3）如圖2，作點關于軸的對稱點，先證明是等腰三角形，得=∠ABC，當點P在x軸上方時，過點作交軸于點，則，于是只要求出直線的解析式，再與拋物線的解析式聯立組成方程組，解方程組即得符合條件的點P；當點P在x軸下方時，作點關于軸的對稱點，作直線，再求直線BH與拋物線的交點即得符合條件的另一個點P.

解：（1）將點和點代入，得

.解得

∴拋物線的解析式為.

（2）如圖1，延長交軸于點，

則，

∵，

∴.

∵A（0,4）

∴.

∴.

∴.

∴當線段最長時，最長.

∵點的橫坐標為，∴點的坐標為.

∵點，，∴直線的解析式為.

∴，∴.

∴當時，線段取最大值為.

∴相應的MD的最大值為，此時點M的坐標為.

（3）點的坐標為或.

理由如下：如圖2，作點關于軸的對稱點，∵OB=3，OA=4，∴AB=5，

∵=8，∴BC=5=AB，∴是等腰三角形，∴=∠ABC，

當點P在x軸上方時，過點作交軸于點，則，∴直線BG與拋物線的交點即為符合條件的點P.

此時，∴點，∴直線的解析式為.

聯立方程組，解得，（舍去），

∴點P的坐標為（5，4）；

當點P在x軸下方時，作點關于軸的對稱點，作直線，則，可得另一直線的解析式為.

解方程組，得，（舍去），

∴點P的坐標為（11，－7）；

綜上，拋物線上存在一點，使得，且點P的坐標為（5，4）或（11，－7）.