Question

（2009•吉林）某數學研究所門前有一個邊長為4米的正方形花壇，花壇內部要用紅、黃、紫三種顏色的花草種植成如圖所示的圖案，圖案中AE=MN．準備在形如Rt△MEH的四個全等三角形內種植紅色花草，在形如Rt△AEH的四個全等三角形內種植黃色花草，在正方形MNPQ內種植紫色花草，每種花草的價格如下表：

品  種	紅色花草	黃色花草	紫色花草
價格（元/米2）	60	80	120

設AE的長為x米，正方形EFGH的面積為S平方米，買花草所需的費用為W元，解答下列問題：
（1）S與x之間的函數關系式為S=______；
（2）求W與x之間的函數關系式，并求所需的最低費用是多少元；
（3）當買花草所需的費用最低時，求EM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可知S=EH²，又EH²=AE²+AH²，代入數據可得S=x²+（4-x）²
（2）由二次函數的性質，通過配方的方法求得最大值
（3）根據相關關系列出方程，解方程即可得出答案
解答：解：（1）由分析（1）可得答案
S=x²+（4-x）²或2x²-8x+16．（2分）

（2）W=60×4S_△AEH+80（S_{正方形EFGN}-S_{正方形MNPQ}）+120S_{正方形MNPQ}
=60×4×x（4-x）+80[x²+（4-x）²-x²]+120x²（4分）
=80x²-160x+1280．（5分）
配方得W=80（x-1）²+1200．（6分）
∴當x=1時，W_最小值=1200元．（7分）

（3）因為四個黃顏色的直角三角形全等，所以EM=QH，
設EM=a米，則MH=MQ+QH=MQ+EM=（a+1）米．
在Rt△EMH中，a²+（a+1）²=1²+3²，
解得∵a＞0
∴
∴EM的長為米．（10分）
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比較簡單．