Question

如圖，拋物線與直線交于C，D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為。點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由；

（3）若存在點P，使∠PCF=45⁰，請直接寫出相應的點P的坐標。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）平行四邊形（3）P（）或（）

【解析】解：（1）∵直線經過點C，∴C（0，2）。

∵拋物線經過點C（0，2），D ，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為。

（2）∵點P的橫坐標為m且在拋物線上，

∴。

∵PF∥CO，∴當PF=CO時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形。

當時，，

∴，解得：。

即當m=1或2時，四邊形OCPF是平行四邊形。

當時，，

∴，解得：（∵點P在y軸右側的拋物線上，∴舍去）

即當時，四邊形OCFP是平行四邊形。

綜上所述，當m=1或2或時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形。

（3）P（）或（）。

（1）由直線經過點C，求出點C的坐標；由拋物線經過點C，D兩點，用待定系數法即可求出拋物線的解析式。

（2）因為PF∥CO，所以當PF=CO時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形，分和兩種情況討論即可。

（3）如圖，當點P在CD上方且∠PCF=45⁰時，

作PM⊥CD于點M，CN⊥PF于點N，則△PMF∽△CNF，

∴�！郟M=CM=2CF。

∴。

又∵，∴。

解得：，（舍去）。

∴P（）。

當點P在CD下方且∠PCF=45⁰時，

同理可以求得：另外一點為P（）。