Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點A（2，0），點B在第一象限且△OAB為等邊三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C，過點C的圓的切線交x軸于點D．
（1）判斷點C是否為弧OB的中點？并說明理由；
（2）求B、C兩點的坐標(biāo)；
（3）求直線CD的函數(shù)解析式；
（4）點P在線段OB上，且滿足四邊形OPCD是等腰梯形，求點P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用90°的圓周角所對的弦是直徑得AC是直徑，求的角ABC=90°，再利用等邊三角形的性質(zhì)可求出∠CBO和∠COB，由此得到C為弧OB的中點的結(jié)論．
（2）要求點的坐標(biāo)就要知道它到兩坐標(biāo)軸的距離．因此要過B點作x軸的垂線，再利用特殊角求出有關(guān)線段，確定B，C兩點坐標(biāo)．
（3）先通過特殊角計算來得到D點坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線CD的函數(shù)解析式．
（4）利用等腰梯形的性質(zhì)和特殊角推出PC=PO，再利用特殊角度求P點坐標(biāo)．
解答：解：（1）C為弧OB的中點．理由如下：
連接AC；∵OC⊥OA，
∴AC為圓的直徑，（1分）
∴∠ABC=90°；
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，
∵∠ACB=∠AOB=60°，
∴∠COB=∠OBC=30°，
∴弧OC=弧BC；（2分）
即C為弧OB的中點．

（2）過點B作BE⊥OA于E；
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴OE=1，BE=，
∴點B的坐標(biāo)是（1，）；（3分）
∵C為弧OB的中點，CD是圓的切線，AC為圓的直徑，
∴AC⊥CD，AC⊥OB，
∴∠CAO=∠OCD=30°，
∴，
∴C（0，）；（4分）

（3）在△COD中，∠COD=90°，，
∵∠OCD=∠CAO=∠COD=30°，
∴DC=2DO，
∵CD²=DO²+CO²，
∴（2OD）²=DO²+CO²，
∴OD=，
則有D（-，0）；（5分）
∴直線CD的解析式為：（6分）

（4）∵四邊形OPCD是等腰梯形，
∴∠CDO=∠DCP=60°，（7分）
∴∠OCP=∠COB=30°，
∴PC=PO（8分）；
過點P作PF⊥OC于F，則OF=OC=，
∴PF=，
∴點P的坐標(biāo)為：（，）．（9分）
點評：掌握求點的坐標(biāo)的方法．掌握圓周角定理及其推論．熟練用待定系數(shù)法求直線的解析式．對等邊三角形和等腰梯形的性質(zhì)要熟練．記住含30度的直角三角形三邊的比（1：：2）．