Question

（2008•衡陽）如圖1，在平面直角坐標系中，等邊三角形ABC的兩頂點坐標分別為A（1，0），B（2，），CD為△ABC的中線，⊙M與△ACD的外接圓，BC交⊙M于點N．
（1）將直線AB繞點D順時針旋轉使得到的直線l與⊙M相切，求此時的旋轉角及直線l的解析式；
（2）連接MN，試判斷MN與CD是否互相垂直平分，并說明理由；
（3）在（1）中的直線l上是否存在點P，使△PAN為直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．（圖2為備用圖）

Answer 1

【答案】分析：（1）相切時∠MDA=90°，原來是60°，所以應是逆時針旋轉了30°，根據CD⊥等邊三角形的一邊，可得點D的縱坐標應是點B的縱坐標的一半；橫坐標應是點A的橫坐標加上A，B橫坐標之差的一半．逆時針旋轉30°后，可設直線與x的交點為P，那么PA=AD=1，則P（0，0），設出正比例函數解析式，把點D的坐標代入即可求得解析式；
（2）易得∠ANC=90°，那么AN=NC，AM=MC，可得MN∥AB，那么MN⊥CD，易得△MNC是等邊三角形，利用得到的垂直，那么可利用全等證得MN被CD平分，繼而推出所求結論；
（3）△PAN為直角三角形，那么有可能點P是直角頂點，還有可能是點A是直角頂點及點N的直角頂點．應分三種情況探討．注意使用特殊的三角函數和勾股定理求解．
解答：解：（1）連接MD，則∠MDA=60度，當AB繞點D，順時針旋轉使得到的直線l與圓M相切時，DM⊥AB，∠MDA=90度，所以，此時的旋轉角是順時針30度．未旋轉時，點D坐標（1.5，），可設直線與x的交點為P，那么PA=AD=1，則P（0，0），設出正比例函數解析式為y=kx，過點D，所以l的解析式為：y=x；

（2）MN⊥CD，且與CD互相垂直平分，因為點N是BC的中點，MN是中位線，有CD⊥AB，MN∥AB，所以MN⊥CD，同時MN平分CD，同時利用MN連線與CD的交點及點C組成的兩個三角形全等，得出CD也平分了MN；

（3）第1種情況：PA⊥AN，P（，）；
第2種情況：PN⊥AN，P（，）；
第3種情況：PA⊥PN，以AN為直徑的圓與直線l的交點有2個，
AN=，
設直線l上的點P坐標為（x，x），則PA²+PN²=AN²=3，
N點坐標為（，），
（x-1）²+（x）²+（x-）²+（x-）²=3，
解得x=，這是P點的橫坐標，
∴P點縱坐標是x．
點評：求直線解析式，應得到相應的兩個點的坐標；有2個以上中點時，應考慮使用三角形的中位線定理．