Question

24、如圖，△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點O，過點O作，FE∥BC交AB于點E，交AC與點F，則線段EF=BE+CF嗎？若AB=13，AC=14，則△AEF的周長是多少？

Answer 1

分析：（1）先根據兩直線平行內錯角相等及角平分線定義，得到∠OBE=∠EOB，根據等角對等邊得到EO=BE，同理OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF．
（2）兩直線平行，內錯角相等，以及根據角平分線性質，可得△FOC、△EOB均為等腰三角形，由此把△AEF的周長轉化為AC+AB；也可由（1）直接得出．

解答：解：（1）EF=BE+CF．理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC；
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB；
∴EO=BE，
同理可得OF=FC，
∴EO+OF=BE+FC，
即EF=BE+CF．

（2）∵EF∥BC，
∴∠OCB=∠COF，∠OBC=∠BOE，
又BO、CO分別是∠BAC和∠ACB的角平分線，
∴∠COF=∠FCO，∠BOE=∠OBE，
∴OF=CF，OE=BE，
∴△AEF的周長=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=27．
則△AEF的周長是27．

點評：本題考查了平行線的性質和等腰三角形的判定及性質；對相等的線段進行有效等量代換是解答本題的關鍵．