Question

一輪船在P處測得燈塔A在正北方向，燈塔B在南偏東24.5°方向，輪船向正東航行了2400m，到達Q處，測得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）線段BQ與PQ是否相等？請說明理由；
（2）求A、B間的距離（參考數據cos41°=0.75）．

Answer 1

解：（1）線段BQ與PQ相等．
∵∠PQB=90°-41°=49°，
∠BPQ=90°-24.5°=65.5°，
∴∠PBQ=180°-49°-65.5°=65.5°，
∴∠BPQ=∠PBQ，
∴BQ=PQ；

（2）∵∠AQB=180°-49°-41°=90°，
∠PQA=90°-49°=41°，
∴AQ===3200，
BQ=PQ=2400，
∴AB²=AQ²+BQ²=3200²+2400²，
∴AB=4000，
答：A、B的距離為4000m．
分析：（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度數進行比較得出線段BQ與PQ是否相等；
（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ=PQ=2400m，又由已知得∠AQB=90°，所以根據勾股定理求出A，B間的距離．
點評：此題考查的知識點是解直角三角形的應用，解題的關鍵是通過角的計算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根據勾股定理求出AB．