Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角.

⑴ 求證：BC=CD.
⑵ 若將原題中的已知條件“∠B和∠D都是直角”放寬為“∠B和∠D互為補角”,其余條件不變，猜想：BC邊和鄰邊CD的長度是否一定相等？請證明你的結論.
⑶ 探究：在⑵的情況下，如果再限制∠BAD=60°，那么相鄰兩邊AB、AD和對角線AC之間有什么確定的數量關系？需說明理由.

Answer 1

⑴見解析⑵ 一定相等，見解析⑶AB+AD=AC，理由見解析解析:
解：⑴ 證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC.
又∵∠D =∠B=Rt∠，AC公用，
∴△ABC≌△ADC.
∴ BC=CD.                    …………………………………………2分
⑵ 一定相等 .                ………………………………………………3分
證明：如圖2，不妨設∠B為銳角，作CE⊥AB于E，則點E必在線段AB上
   ∵∠B和∠D互為補角，
∴∠D是鈍角，作CF⊥AD于F，
則點F必在線段AD的延長線上.
∴∠CDF與∠ADC互補.
∴∠B=∠CDF.
又∵AC是∠BAD的平分線， ∴ CE=CF.
∴Rt△BCE≌Rt△DCF
∴ BC=CD.                ………………………………………………6分
⑶ AB+AD=AC.              ………………………………………………7分
理由是：圖2中，由已知條件，易知AE=AF，BE=DF.
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE.
當∠BAD=60°時，∠CAE=30°，AE=AC.
∴AB+AD=2AE=AC.        ………………………………………………10分
（1）由AC平分∠BAD與∠B和∠D都是直角，以及AC是公共邊，根據AAS即可證得△ABC≌△ADC，則可得BC=CD；
（2）首先不妨設∠B為銳角，作CE⊥AB于E，則點E必在線段AB上，由∠B和∠D互為補角，可得∠D是鈍角，作CF⊥AD于F，則點F必在線段AD的延長線上，則可得∠D=∠CBF，又由AC是∠BAD的平分線，與CE=CF，即可證得Rt△BCF≌Rt△DCE，則可得BC=CD；
（3）在圖2中，由已知條件，易知AE=AF，BE=DF，則可得AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE，則可證得AB+AD=2AE=AC