Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點P的坐標為（1，-

4 3

3

），交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，-

3

）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）把△ABC繞AB的中點E旋轉180°，得到四邊形ADBC．
①則點D的坐標為

 

；
②試判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由．
（3）試問在直線AC上是否存在一點F，使得△FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式是y=a（x-1）²-

4 3

3

，把C（0，-

3

）代入求出a=

3

3

即可；
（2）y=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

=0，求出A、B的坐標，得到E（1，0），即可推出D的坐標，根據矩形的判定即可推出答案；
（3）作出點B關于直線AC的對稱點Bˊ，連接BˊD與直線AC交于點F．則點F是使△FBD周長最小的點．根據△BˊFC∽△DFA即可求出答案．

解答：解：（1）設拋物線的解析式是y=a（x-1）²-

4 3

3

，
把C（0，-

3

）代入得：a=

3

3

，
∴y=

3

3

(x-1)2-

4 3

3

，
答：拋物線的表達式是y=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

．

（2）①解：y=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
A（-1，0），B（3，0），
∴E（1，0），
∴D（2，

3

），
故答案為：D（2，

3

）．

②四邊形ADBC是矩形．
理由：四邊形ADBC是平行四邊形，且∠ACB=90°，

（3）答：存在．
解：作出點B關于直線AC的對稱點Bˊ，連接BˊD與直線AC交于點F．
則點F是使△FBD周長最小的點．
∵∠BˊCA=∠DAF=90°，∠BˊFC=∠DFA，
∴△BˊFC∽△DFA．
∴F是線段AC的中點，求得F（-

1

2

，-

3

2

），
答：存在，F的坐標是（-

1

2

，-

3

2

）．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，解一元二次方程，平行四邊形的性質，相似三角形的性質和判定，中心對稱圖形等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．