Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是的中點，AD交BC于點E，若CE＝，BE＝，以下結論中：①sin∠ABC＝；②AD＝，③S⊙O＝π；④OE∥BD．其中正確的共有（　　）個．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據已知得BC=CE+BE=2，連接OD，根據垂徑定理得：OD⊥BC，CF=BF=，則EF=﹣＝，證明△ACE≌△DFE，設OF=x，則AC=2x，OD=3x，根據三角函數定義可得結論；

②根據勾股定理可得：AC=1，計算AE的長，可得AD的長；

③由②知：AB2=（3AC）2=9，根據圓的面積公式計算即可；

④根據△ACE≌△DFE，可得AE=ED，利用三角形中位線定理可得結論．

①∵CE＝，BE＝，

∴BC＝CE+BE＝2，

連接OD，交BC于點F，

∵D是的中點，

∴OD⊥BC，CF＝BF＝，

∴EF＝﹣＝，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

在△ACE和△DFE中，

∵，

∴△ACE≌△DFE（ASA），

∴AC＝DF

∵OF是△ABC的中位線，

∴AC＝DF＝2OF，

設OF＝x，則AC＝DF＝2x，OD＝3x，

∴AB＝6x，

Rt△ACB中，sin∠ABC＝＝＝；

故①正確；

②Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，

（2x）2+（2）2＝（6x）2，

x＝，

∴AC＝2x＝1，

由勾股定理得：AE＝＝＝，

∴AD＝2AE＝；

故②正確；

③由②知：AB2＝（3AC）2＝9，

∴S⊙O＝π＝＝，

故③正確；

④∵△ACE≌△DFE，

∴AE＝ED，

∵AO＝OB，

∴OE∥BD，

故④正確；

本題正確的結論有：①②③④，4個

故選：D．