Question

△ABC的內切圓分別切BC、CA、AB于點D、E、F，過點F作BC的平行線分別交直線DA、DE于點H、G．求證：FH=HG．

Answer 1

分析：首先過點A作BC的平行線分別交直線DE、DF于點P、Q．根據切線的性質定理、兩直線平行內錯角相等的性質、對頂角相等，可證得∠APF=∠AFP．進而得到PA=AF，同理可證得AQ=AE，因而AP=AQ．再根據相似三角形的性質，對應邊成比例，問題得解．

解答：證明：過點A作BC的平行線分別交直線DE、DF于點P、Q，
∵△ABC的內切圓分別切BC、CA、AB于點D、E、F，
∴∠BDF=∠BFD，
又∵∠APF=∠BDF，∠AFP=∠BFD，∠PFA=∠BFD，
∴∠APF=∠AFP，
∴AP=AF，
同理AQ=AE，
又∵AF=AE，
∴PA=AQ，
∵△APD∽△HFD，
∴

HF

AP

=

DH

DA

，
同理

HG

AQ

=

DH

DA

，
∴

HF

AP

=

HG

AQ

，
∴HF=HG．

點評：本題考查三角形的內切圓與內心、平行線的性質、全等三角形的性質、弦切角定理．解決本題的關鍵是證明PA=AQ，再根據相似證得最終結論．