Question

如圖1，在平面直角坐標系中，已知點M的坐標是（3，0），半徑為2的⊙M交x軸于E、F兩點，過點P（-1，0）作⊙M的切線，切點為點A，過點A作AB⊥x軸于點C，交⊙M于點B．拋物線y=ax²+bx+c經過P、B、M三點．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）若點Q是拋物線上一動點，且位于P、B兩點之間，設四邊形APQB的面積為S，點Q的橫坐標為x，求S與x之間的函數關系式，并求S的最大值和此時點Q的坐標；
（3）如圖2，將弧AEB沿弦AB對折后得到弧AE′B，試判斷直線AF與弧AE′B的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AM，則AM⊥PA，又AB⊥x軸，可知∠MAC=∠APM，Rt△APM中，sin∠APM===，故∠APM=30°，在Rt△ACM中，AM=2，∠MAC=∠APM=30°，解直角三角形可求CM，AC，確定A點坐標，根據對稱性求B點坐標，拋物線過P、M，設拋物線交點式，將B點坐標代入即可；
（2）如圖1，過Q點作QH⊥x軸，垂足為H，根據S_{四邊形APQB}=S_△APC+S_△PQH+S梯_形BCHQ表示面積，利用函數的性質求面積最大值及此時Q點的坐標；
（3）相切．如圖2，連接AE，證明的圓心為E點，判斷∠EAF=90°即可．
解答：解：（1）連接AM，∵PA切⊙M于點A，
∴AM⊥PA，又AB⊥x軸，
∴∠MAC=∠APM，Rt△APM中，PM=PO+OM=1+3=4，AM=2，
∴sin∠APM==，∠APM=30°，
在Rt△ACM中，AM=2，∠MAC=∠APM=30°，
CM=AM•sin30°=2×=1，AC=AM•cos30°=2×=，
∴OC=OM-CM=3-1=2，A（2，），
∵A、B兩點關于x軸對稱，
∴B（2，-），
∵拋物線過P（-1，0）、M（3，0），設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
將B（2，-）代入，得a（2+1）（2-3）=-，解得a=，
∴y=（x+1）（x-3）=x²-x-；

（2）如圖1，過Q點作QH⊥x軸，垂足為H，由（1）得H（x，0），Q（x，x²-x-）
S_{四邊形APQB}=S_△APC+S_△PQH+S梯_形BCHQ=×PC×AC+×PH×QH+×（QH+BC）×CH
=×3×+×（x+1）×（-x²+x+）+×（-x²+x+）×（2-x）
=-x²+x+4，
∵-＜0，四邊形APQB的面積有最大值，
當x=時，四邊形APQB的面積最大值為，此時Q（，-）；

（3）直線AF與弧AE′B相切．如圖2，連接AE，
由（1）可知，度數為60°，根據對稱性可知度數為60°，△AEE′為等邊三角形，
∴的圓心為E點，∠EAF=∠EAC+∠CAF=30°+60°=90°，
∴直線AF與弧AE′B相切．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、圓心角定理、切線的性質與判定、特殊三角形的判定和性質等知識點．