Question

如圖，直線分別交x軸、y軸于B、A兩點，拋物線L：y=ax²+bx+c的頂點G在x軸上，且過（0，4）和（4，4）兩點．
（1）求拋物線L的解析式；
（2）拋物線L上是否存在這樣的點C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形，若存在，請求出C點的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）將拋物線L沿x軸平行移動得拋物線L₁，其頂點為P，同時將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，使點D落在拋物線L₁上．試問這樣的拋物線L₁是否存在，若存在，求出L₁對應的函數關系式，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線L過（0，4）和（4，4）兩點，由拋物線的對稱性知對稱軸為x=2，
∴G（2，0），
將（2，0）、（4，4）代入y=ax²+bx+4，
得，
解得，
∴拋物線L的解析式為y=x²-4x+4．

（2）∵直線分別交x軸、y軸于B、A兩點，
∴A（0，3），B（-，0）．
若拋物線L上存在滿足的點C，則AC∥BG，
∴C點縱坐標此為3，
設C（m，3），
又∵C在拋物線L，代入解析式：（m-2）²=3，
∴m=2±．
當m=2+時，BG=2+，AG=2+，
∴BG∥AG且BG=AG，
此時四邊形ABGC是平行四邊形，舍去m=2+，
當m=2-時，BG=2-，AG=2-，
∴BG∥AG且BG≠AG，
此時四邊形ABGC是梯形．
故存在這樣的點C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形，其坐標為：
C（2-，3）．

（3）假設拋物線L_1是存在的，且對應的函數關系式為y=（x-n）²，
∴頂點P（n，0）．
Rt△ABO中，AO=3，BO=，
可得∠ABO=60°，
又∵△ABD≌△ABP．
∴∠ABD=60°，BD=BP=+n．
如圖，過D作DN⊥x軸于N點，
Rt△BND中，BD=+n，∠DBN=60°，
∴DN=（+n），BN=，
∴D（--，），
即D（，），
又∵D點在拋物線y=（x-n）²上，
∴=（--n）²，
整理：9n²+16+21=0．
解得n=-，n=-，當n=-時，P與B重合，不能構成三角形，舍去，
∴當n=-時，此時拋物線為y=（x+）²．
分析：（1）已知拋物線的頂點在x軸上，那么拋物線與x軸只有一個交點，即△=0，然后將已知的兩點坐標代入拋物線中聯立三式即可求出拋物線的解析式．
（2）若四邊形ABGC是以BG為底的梯形，那么AC∥BG，可先求出A點的坐標，然后將A點縱坐標代入拋物線中即可求出C點坐標．要注意的是四邊形ABGC是梯形，因此AC≠BG，據此可將不合題意的值舍去．
（3）假設存在這樣的拋物線，先設出平移后拋物線的解析式，解題的大致思路：根據平移后拋物線的解析式寫出P點的坐標，然后根據折疊的性質求出D點的坐標，已知D在拋物線上，將D點代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式．
點評：本題是二次函數綜合題，考查了二次函數解析式的確定、梯形的判定、圖形的翻轉折疊等知識．