Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AD的中點，聯結BE，過點A作,分別交BE、CD于點H、F，聯結BF．

（1）求證：BE=BF；

（2）聯結BD，交AF于點O，聯結OE．求證：

 

Answer 1

(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

試題分析：

（1）根據正方形性質得出AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，求出∠ABH=∠HAE，證△ABE∽△DAF，得出比例式，求出AE=DF，CF=AE，證出Rt△ABE≌Rt△CBF即可；

（2）根據正方形性質求出∠ADB=∠CDB，證△DEO≌△DFO，推出∠DEO=∠DFO，根據△ABE∽△DAF推出∠AEB=∠DFA，即可得出答案．

試題解析：

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，

∴∠BAH+∠HAE=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠AHB=90°，

即∠BAH+∠ABH=90°，

∴∠ABH=∠HAE，

又∵∠BAE=∠ADF，

∴△ABE∽△DAF，

∴，

∴AE=DF，

∵點E是邊AD的中點，

∴點F是邊DC的中點，

∴CF=AE，

在Rt△ABE與Rt△CBF中，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），

∴BE=BF．

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，

在△DEO與△DFO中，

∴△DEO≌△DFO（SAS），

∴∠DEO=∠DFO，

∵△ABE∽△DAF，

∴∠AEB=∠DFA，

∴∠AEB=∠DEO．

考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．