Question

（2013•廈門質檢）四邊形ABCD中，對角線AC、BD的交點為O，
（1）如圖1，若AD∥BC，AD=6，BC=4，求

AO

CO

的值；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，過點B作BE⊥AC，垂足為E，當∠ACB=30°時，有AC=

3

BE+1，求BC的長度．

Answer 1

分析：（1）先根據AD∥BC可知∠ACB=∠DAC，∠ADB=∠DBC，故可得出△AOD∽△COB，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（2）設BE=x，在Rt△BEC中，由∠ACB=30°可知BC=2BE=2x，在Rt△ABC中由cos∠ACB=

BC

AC

，可用x表示出AC的值，再根據AC=

3

BE+1可得出x的值，進而得出結論．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△AOD∽△COB，
∴

AO

CO

=

AD

BC

=

6

4

=

3

2

；

（2）設BE=x，在Rt△BEC中，
∵∠ACB=30°，
∴BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，
∵cos∠ACB=

BC

AC

，
∴cos30°=

2x

AC

=

3

2

，
∴AC=

BC

cos30°

=

4x

3

=

4 3

3

x，
又∵AC=

3

BE+1=

3

x+1，
∴

4 3

3

x=

3

x+1，解得x=

3

，
∴BC=2x=2

3

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的判定與性質、銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值是解答此題的關鍵．