Question

（2001•寧夏）用三種方法證明：如圖，已知在⊙O中，半徑OA⊥OB，C是OB延長線上一點，AC交⊙O于D，求證：弧AD的度數是∠C的2倍．

Answer 1

【答案】分析：求證：弧AD的度數是∠C的2倍，就是求證∠AOD=2∠C即可．
解答：證明：
證法一：延長AO交圓與點M，連接DM，
∵AM是圓的直徑，
∵∠ADM=90°則△OAC與△ADM都是直角三角形，且∠A是公共角，
∴∠M=∠C，而∠AOD=2∠M．
∴∠AOD=2∠C．
∵∠AOD的度數就等于弧AD的度數，
∴弧AD的度數是∠C的2倍．
證法二：連接OD，
在直角△AOC中，∠C=90°-∠A，
在△OAD中，∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠AOD=180-2∠A．
∴∠AOD=2∠C．
∵∠AOD的度數就等于弧AD的度數，
∴弧AD的度數是∠C的2倍．
證法三：延長AO交圓于點N，連接CN，交圓于點M，連接OM、OD，
∵AN⊥OC，OA=ON，
∴AC=CN．
∴∠A=∠N∠ACN=2∠ACO．
∴∠ACN=180-∠A-∠N=180-2∠A．
∵△OAD中OA=OD，
∴∠A=∠ADO=∠N．
∴∠AOD=∠ACN=2∠ACO．
又∵∠AOD的度數就等于弧AD的度數，
弧AD的度數是∠ACO的2倍．
點評：本題把弧的度數轉化為角的度數，是解題的關鍵．