Question

如圖1，在長方形紙片ABCD中，AB=mAD，其中m≥1，將它沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD相交于點P，連接EP．設(shè)=n，其中0＜n≤1．

（1）如圖2，當n=1（即M點與D點重合），m=2時，則=______；
（2）如圖3，當n=（M為AD的中點），m的值發(fā)生變化時，求證：EP=AE+DP；
（3）如圖1，當m=2（AB=2AD），n的值發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可知，當n=1（即M點與D點重合），m=2時，AB=2AD，設(shè)AD=a，則AB=2a，由矩形的性質(zhì)可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出結(jié)論；
（2）延長PM交EA延長線于G，由條件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，通過證明△ABM∽△KFE，就可以得出=即=，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是為定值．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵AB=mAD，且n=2，
∴AB=2AD．
∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，
∴∠ADE=∠NDF．
在△ADE和△NDF中，
，
∴△ADE≌△NDF（ASA），
∴AE=NF，DE=DF．
∵FN=FC，
∴AE=FC．
∵AB=CD，
∴AB-AE=CD-CF，
∴BE=DF，
∴BE=DE．
Rt△AED中，由勾股定理，得
AE²=DE²-AD²，
AE²=（2AD-AE）²-AD²，
∴AE=AD，
∴BE=2AD-AD=AD．
∴==．

（2）如圖3，延長PM交EA延長線于G，
∴∠GAM=90°．
∵M為AD的中點，
∴AM=DM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠GAM=∠PDM．
在△GAM和△PDM中，
，
∴△GAM≌△PDM（ASA），
∴MG=MP，
在△EMP和△EMG中，
，
∴△EMP≌△EMG（SAS），
∴EG=EP，
∴AG+AE=EP，
∴PD+AE=EP，
即AE=AE+DP；

（3）=的值不變，
理由：如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，
∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，
∴EF⊥MB，
即∠FQO=90°，
∵四邊形FKBC是矩形，
∴KF=BC，F(xiàn)C=KB，
∵∠FKB=90°，
∴∠KBO+∠KOB=90°，
∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，
∴∠KBO=∠OFQ，
∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABM∽△KFE，
∴=即=，
∵AB=2AD=2BC，BK=CF，
∴=，
∴的值不變．
點評：本題是一道相似性的綜合試題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．