Question

【題目】如圖，拋物線的頂點為，一直線經過拋物線上的兩點和．

（1）求拋物線的解析式和的值．

（2）在拋物線上兩點之間的部分（不包含兩點）是否存在點，使得面積最大？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）若點在拋物線上，點在軸上，當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），（2）存在，，理由見解析（3）或或或

【解析】

（1）根據頂點設拋物線為：，利用待定系數法求解拋物線即可；

（2）先求解的解析式，過點作軸的平行線交于點，設點，寫出的坐標，建立面積與的函數關系式，利用二次函數的性質得到答案．

（3）分是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1） 拋物線的頂點為，

設二次函數表達式為：

將點的坐標代入上式：

解得：

故拋物線的表達式為：

把代入上式，得

（2）存在，理由：設表達式

將代入

，

解得：

直線為：

二次函數對稱軸為：，

過點作軸的平行線交于點

設點，點

則

時，有最大值，這時點；

（3）設點、點，

①當是平行四邊形的一條邊時，

點向左平移4個單位向下平移16個單位得到，

同理，點向左平移4個單位向下平移16個單位為，即為點，

即：，而，

解得：或

故點或；

②當是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：，而

解得：

故點或；

綜上，點或或或