Question

如圖，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OB=2，AB=1，把△OAB沿OB折疊，使點A落在點C處．
（1）求點C的坐標；
（2）求經過O、B、C的拋物線的解析式；
（3）若點M是（2）中的拋物線上位于點C右側的一動點，連接MC和MO，且MO與AC相交于點N．是否存在這樣的點M，使△CMN與△OAN相似？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CM⊥Y軸于M，CN⊥X軸于N，根據∠OAB=90°，OB=2，AB=1，求出∠AOB，根據勾股定理求出OA，根據折疊求出OC=OA和∠COM，進一步求出CM和CN的長即可；
（2）因為拋物線過原點，即c=0，設經過O、B、C的拋物線的解析式是y=ax²+bx，把B、C的坐標代入得到方程組，求出方程組的解即可得到解析式；
（3）①當∠CMO=∠MOA時，△CMN與△OAN相似，此時CM∥OA，得到M的縱坐標和C的縱坐標相等，是，把y=代入拋物線的解析式求出x的值即可求出M的坐標；當∠CMO=∠CAO時，△CMN與△OAN相似，通過已知得到此時M和B重合，能根據B的坐標得出M的坐標．
解答：解：（1）過C作CM⊥Y軸于M，CN⊥X軸于N，
∵∠OAB=90°，OB=2，AB=1，
∴∠AOB=30°，
根據勾股定理得：OA=，
∵把△OAB沿OB折疊，使點A落在點C處，
∴∠COB=∠AOB=30°，OC=OA=，
∴∠COM=90°-30°-30°=30°，
∴CM=，
根據勾股定理得：OM=，
∴C的坐標是（，），
答：C的坐標是（，）．

（2）∵∠OAB=90°，OB=2，AB=1，
∴A（，0），B（，1），
∵拋物線過原點，即c=0，
∴設經過O、B、C的拋物線的解析式是y=ax²+bx，
把C（，），B（，1）代入得：，
解得：，
∴y=x²+x，
答：經過O、B、C的拋物線的解析式是y=x²+x．

（3）存在，
①當∠CMO=∠MOA時，△CMN與△OAN相似，
∵∠CMO=∠MOA，
∴CM∥OA，
此時M的縱坐標和C的縱坐標相等，是，
把y=代入經過O、B、C的拋物線的解析式是y=x²+x，得：
=x²+x，
解得：x₁=，x₂=，
∴M（，），
②當∠CMO=∠CAO時，△CMN與△OAN相似，
∵∠COA=30°+30°=60°，OC=OA=，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠CAO=60°，
即：∠CMO=60°，
∴此時M和B重合，
∴M的坐標是（，1），
綜合上述：M的坐標是（，1）或（，），
答：存在這樣的點M，使△CMN與△OAN相似，所有符合條件的點M的坐標是（，1）或（，）．
點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，含30°的直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強，用的數學思想是分類討論思想．