Question

【題目】如圖1，等腰直角中，，過點，的圓交于點，交于點，連結.

(1)若，，分別求，的長

(2)如圖2，連結，若，的面積為10，求．

(3)如圖3，在圓上取點使得(點與點不重合)，連結，且點是的內心

①請你畫出，說明畫圖過程并求的度數．

②設，，，若，求的內切圓半徑長．

Answer 1

【答案】(1)DE=；CE=；(2)；(3)①畫圖見解析；∠CDF=135°；②的內切圓半徑為2．

【解析】

（1）由A、C、E、D四點共圓可得∠ADE＝90°，然后求出DE、BE、BC，再根據CE=BC-BE即可得出答案；

（2）過點D作DH⊥CA于H，過點D作DG⊥CB于G G，設DG=x，根據45°等腰直角三角形性質可得DG=EG=BG=x，根據△ACD面積列出關于x的式子求出x值，再據此計算tan∠BCD；

（3）①過點畫交的延長線于點，根據∠PFD＝∠CFD，∠PCD＝∠BCD，∠CPF＝90°即可求出∠CDF的度數；②過點D作DG⊥CB于G，則DG為△CPF內切圓半徑，先求出△CDE∽△DBF，根據相似三角形性質可得，然后求出BD＝DE＝，即可得出△CPF的內切圓半徑長.

解：(1)∵，，

∴，

∵四邊形內接于圓，

∴

∵，，

∴，．

∵，

∴．

∴．

(2)過點作于，過點作于 ，設，

∵，，

∴．

∴, ,

∵的面積為10，

∴，

解得，(舍去)

∴

(3)①∵，點為的內心，

∴如圖，過點畫交的延長線于點，

即為所求的三角形.

∵∠PFD＝∠CFD，∠PCD＝∠BCD，∠CPF＝90°

∴

=

②過點作于，則為內切圓半徑

∵，，

∴

又∵，

∴

而，

∴．

∴，即

而

∴，

∴的內切圓半徑為2．