Question

如圖，已知二次函數y=ax²-4x+c的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點B（0，-5）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）已知該函數圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最小．請求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值；
（2）設拋物線與x軸的另一交點為C，根據（1）所得的函數解析式即可求得A、B、C的坐標；在△ABP中，AB的長為定值，若三角形的周長最小，那么AP+BP的長最小；由于A、C關于拋物線的對稱軸對稱，若連接BC，那么BC與對稱軸的交點即為所求的P點，可先求出直線BC的解析式，然后聯立拋物線的對稱軸方程，即可求得P點的坐標．
解答：解：（1）根據題意，得（2分）
解得（3分）
∴二次函數的表達式為y=x²-4x-5．（4分）

（2）令y=0，得二次函數y=x²-4x-5的圖象與x軸
的另一個交點坐標C（5，0）；（5分）
由于P是對稱軸x=2上一點，
連接AB，由于，
要使△ABP的周長最小，只要PA+PB最小；（6分）
由于點A與點C關于對稱軸x=2對稱，連接BC交對稱軸于點P，則PA+PB=BP+PC=BC，根據兩點之間，線段最短，可得PA+PB的最小值為BC；
因而BC與對稱軸x=2的交點P就是所求的點；（8分）
設直線BC的解析式為y=kx+b，
根據題意可得
解得
所以直線BC的解析式為y=x-5；（9分）
因此直線BC與對稱軸x=2的交點坐標是方程組的解，
解得
所求的點P的坐標為（2，-3）．（10分）
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定以及軸對稱性質的應用，能夠正確的確定P點的位置時解答此題的關鍵．