Question

（2003•海南）已知拋物線y=ax²+bx+c開口向下，并且經過A（0，1）和M（2，-3）兩點．
（1）若拋物線的對稱軸為直線x=-1，求此拋物線的解析式；
（2）如果拋物線的對稱軸在y軸的左側，試求a的取值范圍；
（3）如果拋物線與x軸交于B、C兩點，且∠BAC=90°，求此時a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可將A、M的坐標代入拋物線的解析式中，用a替換掉b、c的值，再根據拋物線的對稱軸為-1，即可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式．
（2）拋物線的對稱軸在y軸左側，即拋物線對稱軸方程小于0，由此可得出a的取值范圍．
（3）可設出B、C的坐標，如果∠BAC=90°，在直角三角形BAC中，可根據射影定理得出OA²=OC•OB，據此可得出a的值．
解答：解：將A、M的坐標代入拋物線的解析式中有：
，
解得：
∴拋物線的解析式為y=ax²-（2+2a）x+1．
（1）∵x=-=-1，
∴=-1，
解得a=-．
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+1．
（2）由題意知：x=-＜0，即＜0；
∵拋物線開口向下，
∴a＜0
∴1+a＞0，且a＜0
∴-1＜a＜0．
（3）設B（x₁，0），C（x₂，0），x₁＜x₂；
∵x₁x₂=，且a＜0．
∴x₁x₂＜0，即B在x軸負半軸，C在x軸正半軸；
∴OB=-x₁，OC=x₂．
∵∠BAC=90°，
在直角三角形BAC中，AO⊥BC，根據射影定理可得：
OA²=OB•OC=-x₁•x₂=1，即-=1，a=-1．
點評：本題主要考查了拋物線對稱軸解析式、二次函數與一元二次方程的關系、韋達定理等知識．