Question

已知如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為,與軸交于、兩點(diǎn)(在點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)、關(guān)于直線:對(duì)稱.

(1)求、兩點(diǎn)坐標(biāo),并證明點(diǎn)在直線上；

(2)求二次函數(shù)解析式；

(3)過點(diǎn)作直線∥交直線于點(diǎn),、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接、、,求和的最小值.

【解析】（1）根據(jù)一元二次方程求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線求證，（2）通過點(diǎn)H、B關(guān)于直線L對(duì)稱，求得H的坐標(biāo)，從而解出二次函數(shù)的解析式，(3)先求出HN+MN的最小值是MB, 再求出BM+MK的最小值是BQ,即和的最小值

 

Answer 1

解:(1)依題意,得

解得,

∵點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)

∴點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為  （2分）

∵直線:

當(dāng)時(shí),

∴點(diǎn)在直線上    （3分）

 (2)∵點(diǎn)、關(guān)于過點(diǎn)的直線:對(duì)稱

    ∴

    過頂點(diǎn)作交于點(diǎn)則,

           ∴頂點(diǎn)    （5分）

           把 代入二次函數(shù)解析式,解得

           ∴二次函數(shù)解析式為    （7分）

(3)直線的解析式為

     直線的解析式為

     由 解得 即,則

  ∵點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱

  ∴的最小值是,

過作軸于D點(diǎn)。

  過點(diǎn)作直線的對(duì)稱點(diǎn),連接,交直線于

則,,

  ∴的最小值是,即的長

是的最小值     

  ∵∥

  ∴

  在Rt△BKQ， 由勾股定理得      （10分）

∴的最小值為（不同解法參照給分）