Question

【題目】如圖乙，△ABC 和△ADE 是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線 BD，CE的交點．

（1）如圖甲，將△ADE 繞點A 旋轉，當 C、D、E 在同一條直線上時，連接BD、BE，則下列給出的四個結論中，其中正確的是哪幾個．（回答直接寫序號）

①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)

（2）若 AB=4，AD=2，把△ADE 繞點 A 旋轉，

①當∠CAE=90°時，求 PB 的長；

②直接寫出旋轉過程中線段 PB 長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①②③；（2）①PB=或，②PB長的最小值是-2，最大值是+2.

【解析】

（1）①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結論②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，進而得出結論；③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出結論；④△BDE為直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出結論；

（2）①分兩種情形a、如圖乙-1中，當點E在AB上時，BE=AB-AE=2．由△PEB∽△AEC，得=，由此即可解決問題．b、如圖乙-2中，當點E在BA延長線上時，BE=6．解法類似；

②如圖乙-3中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．分別求出PB即可.

（1）①②③；

（2）①解：a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB-AE=2．

∵∠EAC=90°，
∴CE=，
同（1）可證△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴，
∴，
∴PB=
b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=6．

∵∠EAC=90°，
∴CE=，
同（1）可證△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=，
綜上，PB=或．
②解：a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最小．

理由：此時∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，
∴EC=，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=2，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四邊形AEPD是矩形，
∴PD=AE=2，
∴PB=BD-PD=2-2．
b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．

理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，
∴EC=，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四邊形AEPD是矩形，
∴PD=AE=2，
∴PB=BD+PD=+2．
綜上所述，PB長的最小值是-2，最大值是+2.